椭圆曲线与某些特殊情况下Mordell-Weil群的计算任务书

 2021-11-25 10:11

1. 毕业设计(论文)主要内容:

椭圆曲线是域上亏格为1的光滑射影曲线(连同一个特殊点),它在射影平面上可以表示成三次曲线的形式。椭圆曲线与众多的数学对象之间存在深刻的联系,如模形式,椭圆函数等,也包含了很多重要的数论信息,它具有一个最引人入胜的性质就是椭圆曲线上的点构成一个阿贝尔群E,当K是数域时,椭圆曲线上的点E(K)是有限生成的阿贝尔群,这就是Mordell-Weil定理。

有限生成阿贝尔群的结构定理告诉我们椭圆曲线上有理点E(Q)所具有的统一形式,但如何计算它在一般情况下仍然是一个悬而未决的问题。本课题要求阐述椭圆曲线的基本概念和一些基本的算术性质,以及介绍Q上Mordell-Weil定理的证明梗概,包括理解这个证明中出现的新概念所需要的预备知识的总结,并且利用证明中使用到的数学工具或者额外的方法,对某些特殊椭圆曲线上的Mordell-Weil群结构进行计算与估计。

2. 毕业设计(论文)主要任务及要求

1、查阅不少于15篇的相关资料,其中英文文献不少于3篇,完成开题报告。

2、完成不少于5000字的英文文献翻译工作。

3、整理相关的研究成果,并进行改进创新的工作。

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3. 毕业设计(论文)完成任务的计划与安排

1-3周:查阅文献,完成开题报告4-6周:总体设计,完成论文综述7-10周:改进与推广11-13周:论证和检查14-15周:写论文,提交初稿,给老师检查,修改定稿,答辩。

4. 主要参考文献

[1]N. Bourbaki. Algebra.Springer-Verlag, New York, 1991.

[2]Atiyah,M.F, MacDonald,I.G.,Introductionto Commutative Algebra.,Addison-Wesley,1996.

[3]Fulton.W., Algebraic Curves, Benjamin,1969.

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