1. 毕业设计（论文）主要目标：
通过研究环的扩张熟悉环的扩环。也即将一个环R经过若干扩张并规定相应的运算法则，然后验证扩张后的环为扩环。
具体步骤为将一个环R的进行了若干种扩张得到环的各种扩环. 这些扩张为: (1)任意一个环(未必有1) 将能扩张为一个有1的环, 即找一个环R有单位元. R=R与Z (整数环)的直和; (2) 对于任意有1 的环D, 环R 有扩环R; (3)环R 对R- 双模M 的平凡扩张得到T(R,M) 扩环; (4) 环R 经过Dorroh 扩张得到扩环; (5)交换环R 经过Nagata扩张得到扩环; (6)环R 的扩环R[x;x^{-1}] ; (7)环R 的扩环R[x;α],α 为R 的自同态; (8)环R 的ore扩张得到扩环R[x;α,δ] ,α为R 的自同态,δ 为R 的α- 导子; (9)环R 的扩环R[x,x^{-1},α] ,α 为R 的自同态.
2. 毕业设计（论文）主要内容：
1.任意一个环R(未必有1)能够扩张到一个有1的环(1,R)为R与整数环的直和且满足R≤(1,R)。
其中，元素形式为nr(n∈Z,r∈R),(1,R)={nr|n∈Z,r∈R} 加法法则为: 〖nr〗_1 mr_2=r_1 r_1 r_1(n个) r_2 r_2 r_2(m个); 乘法法则为: 'n' r_1*mr_2=(nm)(r_1 〖*r〗_2).2 R与任意有1的环D的直和为R的扩张为{(r,d)|r∈R,d∈D}加法法则为： (r_1,d_1) (r_2,d_2)=(r_1 r_2 〖,d〗_1 d_2); 乘法法则为: (r_1,d_1)*(r_2,d_2)=(r_1*r_2 〖,d〗_1*d_2).3 环R对M的平凡扩张T（R,M）M为R-双模，T（R,M）={(r,m)|r∈R,m∈M} 加法法则为： (r_1,m_1) (r_2,m_2)=(r_1 r_2 〖,m〗_1 m_2); 乘法法则为: (r_1,m_1)(r_2,m)=(r_1 r_2 〖,r_1 m〗_2 〖m_1 r〗_2).4 环 R的Dorroh扩张即设R为交换环S上的代数，环RS称为环R关于S的Dorroh扩张，RS={(r,s)|r∈R,s∈S}, 加法法则为： (r_1,s_1) (r_2,s_2)=(r_1 r_2 〖,s〗_1 s_2); 乘法法则为: (r_1,s_1)(r_2,s_2)=(r_1 r_2 s_1 r_2 s_2 r_1,s_1 s_2).5 环 R为交换环，M为R-模，σ为R的内射自同态，R的Nagata扩张为{(r,m) |r∈R,m∈M} 加法法则为： (r_1,m_1) (r_2,m_2)=(r_1 r_2 〖,m〗_1 m_2); 乘法法则为: (r_1,m_1)(r_2,m)=(r_1 r_2 〖,〖σ(r〗_1)m〗_2 r_2 m_1).6 环R的扩张R[x,x^(-1)]为R的扩环,R为其子环,R[x,x^(-1)]={∑〖rx^i |r∈R,i为整数 }加法为多项式对应项相加: a0 a1x a2x^2 .... anx^n b0 b1x b2x^2 ... bnx^n=(a0 b0) (a1 b1)x (a2 b2)x^2 ... (an bn)x^n, 乘法法则为多项式对应项相乘r_1 x^ir_2 x^j=r_1 r_2 x^(i j).7 环R的扩张R[x;α] 为R的扩环，其中α为R到R的自同态,R为R[x;α]的子环，R[x;α]={∑〖rx^i 〗|r∈R,i为非负整数 }加法法则为多项式对应项相加: a0 a1x a2x^2 .... anx^n b0 b1x b2x^2 ... bnx^n=(a0 b0) (a1 b1)x (a2 b2)x^2 ... (an bn)x^n, 乘法法则为：xa=α(a)x,a∈R.8 环R的ore扩张R[x;α,δ] 为R的扩环,R为其子环, 其中α为R到R的自同态,δ是R的α-导子，且有δ(ab)=δ(a)b α(a)δ(b) (a,b∈R),R为R[x;α,δ]的子环，R[x;α,δ]={∑〖rx^i 〗|r∈R,i为非负整数} 加法法则为多项式对应项相加:a0 a1x a2x^2 .... anx^n b0 b1x b2x^2 ... bnx^n=(a0 b0) (a1 b1)x (a2 b2)x^2 ... (an bn)x^n, 乘法法则为：xa=α(a)x δ(a),a∈R.9 环R的扩张R[x,x^(-1),α]为R的扩环, 其中α为R到R的自同态，R为R[x,x^(-1),α]的子环.R[x,x^(-1),α]={∑〖x^(-j) rx^i 〗|r∈R,i，j非负整数}, 加法法则为对应项相加：x-jr1xi x-jr2xi=x-j(r1 r2)xi, (r1,r2∈R, i，j非负整数); 乘法法则为：xa=α(a)x,a∈R.
3. 主要参考文献
[1]吴品三.近世代数[M].北京:人民教育出版社,1980.[2]Kim N K, Yang L. Extensions of reversible rings[J]. Journal of Pure and Applied Algebra,2003,185:207-223.[3] 刘绍学.环与代数(第二版)[M].北京:科学出版社,2008.[4] NASRISFAHANI. A. R. , MOUSSAVI .A. A GENERALIZATION OF REDUCED RINGS[J]. Journal of Algebra and Its Applications, 2012, 11(4):1398-1427.[5] Nasrisfahani A R, Moussavi A. Ore Extensions of Skew Armendariz Rings[J]. Communications in Algebra, 2008, 36(2):508-522.[6] NASRISFAHANI. A. R. , MOUSSAVI .A.ON WEAKLY RIGID RINGS,Glasgow Mathematical Journal,2009,51(3),425-440.[7] WANG YAO,JIANG MEI-MEI,REN YAN-LI. Ore Extensions over Weakly 2-primal Rings[J]. Communications in Mathematical Research,2016,(01):70-82.
[8]聂灵沼,丁石孙.代数学引论(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2000.
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